IEEE二进制浮点数算术标准（IEEE 754）是20世纪80年代以来最广泛使用的浮点数运算标准，为许多CPU与浮点运算器所采用。这个标准定义了表示浮点数的格式（包括负零-0）与反常值（denormal number）），一些特殊数值（无穷（Inf）与非数值（NaN）），以及这些数值的“浮点数运算符”；它也指明了四种数值舍入规则和五种例外状况（包括例外发生的时机与处理方式）。
IEEE 754规定了四种表示浮点数值的方式：单精确度（32位）、双精确度（64位）、延伸单精确度（43比特以上，很少使用）与延伸双精确度（79比特以上，通常以80位实现）。只有32位模式有强制要求，其他都是选择性的。大部分编程语言都有提供IEEE浮点数格式与算术，但有些将其列为非必需的。例如，IEEE 754问世之前就有的C语言，有包括IEEE算术，但不算作强制要求（C语言的float通常是指IEEE单精确度，而double是指双精确度）。
该标准的全称为IEEE二进制浮点数算术标准（ANSI/IEEE Std 754-1985），又称IEC 60559:1989，微处理器系统的二进制浮点数算术（本来的编号是IEC 559:1989）。后来还有“与基数无关的浮点数”的“IEEE 854-1987标准”，有规定基数为2跟10的状况。最新标准是“ISO/IEC/IEEE FDIS 60559:2010”。
- 中文名
- IEEE二进位浮点数算术标准
- 外文名
- IEEE 754
- 标准编号
- IEEE 754-2008
- 等价标准
- ISO/IEC/IEEE 60559:2011
- 标准名称
- IEEE浮点数算术标准
- 制定机构
- 微处理器标准委员会（MSC）
一个浮点数 (Value) 的表示其实可以这样表示：
也就是浮点数的实际值，等于符号位（sign bit）乘以指数偏移值(exponent bias)再乘以分数值(fraction)。
以下内文是IEEE 754对浮点数格式的描述。
把W个比特（bit）的数据，从内存地址低端到高端，以0到W−1编码。通常将内存地址低端的比特写在最右边，称作最低有效位（Least Significant Bit,LSB），代表最小的比特，改变时对整体数值影响最小的比特。声明这一点的必要性在于X86体系架构是小端序的数据存储。
对于十进制整数N，必要时表示为N10以与二进制的数的表示N巴谜翻2相区分。
指旋戏数偏差
指数偏差指数偏移值
采用指数的实际值加上固定的偏移值的办法表示浮点数的指数，好处是可以用长度为
这种移码表示的指数部分，中文称作阶码。
规约形式的浮点数
如果浮点数中指数部分的编码值在
举例来说，双精度 (64-bit) 的规约形式浮点数在指数偏移值的值域为
非规约形式的浮点数
如果浮点数的指数部分的编码值是0，分数部分非零，那么这个浮点数将被称为非规约形式的浮点数。一般是某个数字相当接近零时才会使用非规约型式来表示。 IEEE 754标准规定：非规约形式的浮点数的指数偏移值比规约形式的浮点数的指数偏移值小1。例如，最小的规约形式的单精度浮点数的指数部分编码值为1，指数的实际值为-126；而非规约的单精度浮点数的指数域编码值为0，对应的指数实际值也是-126而不是-127。实际上非规约形式的浮点数仍然是有效可以使用的，只是它们的绝对值已经小于所有的规约浮点数的绝对值；即所有的非规约浮点数比规约浮点数更接近0。规约浮点数的尾数大于等于1且小于2，而非规约浮点数的尾数小于1且大于0。
除了规约浮点数，IEEE754-1985标准采用非规约浮点数，用来解决填补绝对值意义下最小规格数与零的距离。（举例说，正数下，最大的非规格数等于最小的规格数。而一个浮点数编码中，如果exponent=0，且尾数部分不为零，那么就按照非规约浮点数来解析）非规约浮点数源于70年代末IEEE浮点数标准化专业技术委员会酝酿浮点数二进制标准时，Intel公司对渐进式下溢出（gradual underflow）的力荐。当时十分流行的DECVAX机的浮点数表示采用了突然式下溢出（abrupt underflow）。如果没有渐进式下溢出，那么0与绝对值最小的浮点数之间的距离（gap）将大于相邻的小浮点数之间的距离。例如单精度浮点数的绝对值最小的规约浮点数是
特殊值
这里有三个特殊值需要指出：
如果指数是0并且尾数的小数部分是0，这个数±0（和符号位相关）
如果指数=
以上规则，总结如下：
形式 | 指数 | 小数部分 |
|---|---|---|
零 | 0 | 0 |
非规约形式 | 0 | 非0 |
规约形式 | 1到  | 任意 |
无穷 | | 0 |
NaN | | 非零 |
32位单精度
单精度二进制小数，使用32个比特存储。
1 | 8 | 23位长 |
S | Exp | Fraction |
31 | 30至23 偏正值（实际的指数大小+127） | 22至0位编号（从右边开始为0） |
S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。 指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（32位的情况是127）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补殃浆漏束码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。单精度的指数部分是−126～+127加上偏移值127，指数值的大小从1～254（0和255是特殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。
单精度浮点数各种极值情况：
类别 | 正负号 | 实际指数 | 有偏移指数 | 指数域 | 尾数域 | 数值 |
|---|---|---|---|---|---|---|
零 | 0 | -127 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | 0.0 |
负零 | 1 | -127 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | −0.0 |
1 | 0 | 0 | 127 | 0111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | 1.0 |
-1 | 1 | 0 | 127 | 0111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | −1.0 |
最小的非规约数 | * | -127 | 0 | 0000 0000 | 000 0000 0000 0000 0000 0001 | ±2× 2= ±2≈ ±1.4×10 |
中间大小的非规约数 | * | -127 | 0 | 0000 0000 | 100 0000 0000 0000 0000 0000 | ±2× 2= ±2≈ ±5.88×10 |
最大的非规约数 | * | -127 | 0 | 0000 0000 | 111 1111 1111 1111 1111 1111 | ±(1−2) × 2≈ ±1.18×10 |
最小的规约数 | * | -126 | 1 | 0000 0001 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | ±2≈ ±1.18×10 |
最大的规约数 | * | 127 | 254 | 1111 1110 | 111 1111 1111 1111 1111 1111 | ±(2−2) × 2≈ ±3.4×10 |
正无穷 | 0 | 128 | 255 | 1111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | +∞ |
负无穷 | 1 | 128 | 255 | 1111 1111 | 000 0000 0000 0000 0000 0000 | −∞ |
* | 128 | 255 | 1111 1111 | non zero | NaN | |
* 符号位可以为0或1. | ||||||
64位双精度
双精度二进制小数，使用64个比特存储。
1 | 11 | 52位长 |
S | Exp | Fraction |
63 | 62至52 偏正值（实际的指数大小+1023） | 51至0位编号（从右边开始为0） |
S为符号位，Exp为指数字，Fraction为有效数字。指数部分即使用所谓的偏正值形式表示，偏正值为实际的指数大小与一个固定值（64位的情况是1023）的和。采用这种方式表示的目的是简化比较。因为，指数的值可能为正也可能为负，如果采用补码表示的话，全体符号位S和Exp自身的符号位将导致不能简单的进行大小比较。正因为如此，指数部分通常采用一个无符号的正数值存储。双精度的指数部分是−1022～+1023加上1023，指数值的大小从1～2046（0（2进位全为0）和2047（2进位全为1）是特欢汽姜殊值）。浮点小数计算时，指数值减去偏正值将是实际的指数大小。
浮点数基本上可以按照符号位、指数域、尾数域的顺序作字典比较。显然，所有正数大于负数；正负号相同时，指数的二进制表示法更大的其浮点数值更大。
任何有效数上的运算结果，通常都存放符去姜在较长的寄存器中，当结果被放回浮点格式时，必须将多出来的比特丢弃。 有多种方法可以用来运行舍入作业，实际上IEEE标准列出4种不同的方法：
- 舍入到最接近：舍入到最接近，在一样接近的情况下偶数优先（Ties To Even，这是默认的舍入方式）：会将结果舍入为最接近且可以表示的值，但是当存在两个数一样接近的时候，则取其中的偶数（在二进制中式以0结尾的）。
- 朝+∞方向舍入：会将结果朝正无限大的方向舍入。
- 朝-∞方向舍入：会将结果朝负无限大的方向舍入。
- 朝0方向舍入：会将结果朝0的方向舍入。
达匙充标准运算
下述函数必须提供:
加减乘除（Add、subtract、multiply、divide）。在加减运算中负零与零相等：
平方根（Square root）：
浮点余数。返回值
近似到最近的整数
比较运算. -Inf
特殊比较： -Inf = -Inf, Inf = Inf, NaN与任何浮点数（包括自盛体承身）的比较结果都为假，即 (NaN ≠ x) = false.
单精和双精浮点数的有效数字分别是有存储的23和52个位，加上最左手边没有存储的第1个位，即是24和53个位。
由以上的计算，单精和双精浮点数可以保证7位和15位十进制有效数字。
C++语言标准定义的浮点数的十进制精度(decimal precision)：十进制数字的位数，可被(浮点数)表示而值不发生变化。C语言标准定义的浮点数的十进制精度为：十进制数字的位数q，使得任何具有q位十进制数字的浮点数可近似表示为b进制的p位数字并且能近似回十进制表示而不改变这q位十进制数字
但由于相对近似误差不均匀，有的7位十进制浮点数不能保证近似转化为32比特浮点再近似转化回7位十进制浮点后保持值不变：例如8.589973e9将变成8.589974e9。这种近似误差不会超过1比特的表示能力，因此(24-1)*std::log10(2)等于6.92，下取整为6，成为std::numeric_limits::digits10以及FLT_DIG的值。std::numeric_limits::max_digits10的值为9，含义是必须9位十进制数字才能区分float的所有值；也即float的最大表示区分度。
类似的，std::numeric_limits::digits10或DBL_DIG是15，
std::numeric_limits::max_digits10是17
#include <iostream>int main ()
{ std::cout.precision(20); float a=123.45678901234567890; double b=123.45678901234567890; std::cout << a << std::endl; std::cout << b << std::endl; return 0;}
// Xcode 5.1
// Output:
// 123.456787109375
// 123.45678901234568059
// Program ended with exit code: 0
